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1602, tome 1 by Neil Gaiman, Andy Kubert PDF

By Neil Gaiman, Andy Kubert

ISBN-10: 2845383037

ISBN-13: 9782845383036

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Qxd 3 31/03/10 10:08 Page 45 Développement limité Nous présentons dans ce chapitre la notion de fonction négligeable devant une autre et celle de développement limité. 1 FONCTION NÉGLIGEABLE DEVANT UNE AUTRE Pour tout entier n 1, on sait que lim x n = 0. Plus précisément, quand x→0 2 2 x > 0 est très petit, il est clair que x est très petit devant x , car xx = x tend vers 0 ; de même x 3 est très petit devant x 2 , et ainsi de suite. Les fonctions x → x n forment une échelle de comparaison qui permet d’estimer l’ordre de grandeur, quand x tend vers 0, de certaines fonctions x → f (x) tendant vers 0 quand x tend vers 0.

Sur l’intervalle [−1,− 2/2], on complète par symétrie par rapport à l’origine, car f est une fonction impaire. 7 a) Puisque f est continue sur le segment [a,b], f a un maximum M et un minimum m sur [a,b] : il existe des nombres u et v appartenant f (x) à [a,b] tels que, pour tout x ∈ [a,b], on a m = f (u) f (v) = M. On a donc m f (u n ) M pour tout n et par suite mn f (u n ) n M n pour tout n. Par hypothèse, on a −1 < f (u) = m n n M = f (v) < 1, donc les suites géométriques (m )et (M ) ont pour limite 0.

A|n+1 m car ec m. (n+1)! 3 n! (d)), donc lim |ea − u n | = 0 , ou encore lim u n = ea . n→+∞ n→+∞ Pour tout a ∈ R, lim n→+∞ 1+ a a2 an + + ··· + 1! 2! n! = ea En particulier, pour a = 1, on a lim n→+∞ 1+ 1 1 1 + + ··· + 1! 2! n! =e CONSEILS ➤ Attention : dans la formule des accroissements finis ou les formules de Taylor, le nombre c qui intervient dépend des points où l’on applique la formule. ➤ Pour comparer f (x)− f (y) et x−y, pensez à la formule des accroisse- ments finis. ➤ Pour comparer une fonction à une fonction polynôme, pensez aux for- mules de Taylor.

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by Richard
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