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Download e-book for kindle: Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie by Gernot Stroth

By Gernot Stroth

ISBN-10: 3110290707

ISBN-13: 9783110290707

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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Dann ist ±1 = m12 − m22 m. √ Da m < −1 ist, folgt m2 = 0 und m1 = ±1. Sei r = (m1 + m2 m)/2. Dann ist ±4 = m12 − m22 m. Wieder gilt m2 = 0 und m1 = ±2. Also ist stets r = ±1. Damit haben wir a = bq oder a = bq ± 1. Somit teilt b entweder a, a + 1 oder a − 1. Wir wählen nun speziell a = 2. Dann gilt, b teilt 2 oder 3, da b keine Einheit ist. Wir zeigen, dass 2 und 3 beide irreduzibel sind. √ √ Sei 3 = [(u + v m)/2][(x + y m)/2] mit u, v, x, y ∈ Z. Dann ist 32 = N(3) = [(u2 − mv 2 )/4][(x 2 − my 2 )/4].

Z ist das einzige Ideal von Z, das sowohl 12Z als auch 5Z enthält. 8. Sei R ein Integritätsbereich. Ist |R| < ∞, so ist R ein Körper. 9. Sei K[x1 , . . , xn ] der Polynomring über einem Körper K . Für welche n ist K[x1 , . . , xn ] ein Hauptidealring? 10. Seien R ein Hauptidealring und a, b ∈ R. In welcher Beziehung stehen das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b und aR ∩ bR? 11. Sei R ein Integritätsbereich. Dann ist 0 ≠ pR genau dann ein Primideal, falls p ein Primelement in R ist. 12.

Der Koeffizient cr +s von x r +s in f g ist a0 br +s + · · · + ar bs + ar +1 bs−1 + · · · + ar +s b0 . Da p nicht ar bs , aber alle ar +i bs−i und bs+i ar −i mit i ≥ 1, teilt, ist p kein Teiler von cr +s . Damit teilt p auch nicht I(f g). Dies gilt für jedes irreduzible Element. Also ist I(f g) eine Einheit, da R ein ZPE-Ring ist. 43. Seien R ein ZPE-Ring und f ∈ R[x] mit I(f ) = 1. Sei weiter K der Quotientenkörper von R. Dann ist f irreduzibel in K[x] genau dann, wenn f irreduzibel in R[x] ist.

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Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie by Gernot Stroth


by Mark
4.5

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